09. Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

20 Μάιος 2026

Τροποποιημένο

27 Μάιος 2026

1 Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις

1.1 Θεωρία

Μια ρητή αλγεβρική παράσταση (ή ρητό αλγεβρικό κλάσμα) ορίζεται ως κάθε κλάσμα του οποίου και οι δύο όροι (αριθμητής και παρονομαστής) είναι ακέραια πολυώνυμα.

1. Περιορισμοί μεταβλητών: Στις ρητές παραστάσεις, οι μεταβλητές (τα γράμματα) δεν μπορούν να πάρουν οποιαδήποτε τιμή.

Ο παρονομαστής ενός κλάσματος δεν επιτρέπεται να είναι μηδέν, καθώς τότε η παράσταση δεν έχει νόημα πραγματικού αριθμού.

Επομένως, όταν γράφουμε μια ρητή παράσταση, υποθέτουμε πάντα ότι οι μεταβλητές παίρνουν τιμές τέτοιες ώστε ο παρονομαστής να παραμένει διάφορος του μηδενός.

2. Διαδικασία Απλοποίησης: Η απλοποίηση μιας ρητής παράστασης αποσκοπεί στη μετατροπή της σε μια πιο απλή μορφή, διαιρώντας και τους δύο όρους της με το ίδιο πολυώνυμο. Η διαδικασία περιλαμβάνει δύο βασικά βήματα:
* Ανάλυση σε γινόμενο: Αναλύουμε τόσο τον αριθμητή όσο και τον παρονομαστή σε γινόμενα παραγόντων (παραγοντοποίηση).
* Διαγραφή κοινών παραγόντων: Διαγράφουμε τους κοινούς παράγοντες που εμφανίζονται και στους δύο όρους. Αυτή η ενέργεια ισοδυναμεί με τη διαίρεση των όρων του κλάσματος με τον Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη (Μ.Κ.Δ.) τους.

1.2 Παραδείγματα Απλοποίησης

Παράδειγμα 1 (με μονώνυμα): Έστω η παράσταση: \[\frac{4\alpha x^{2}y}{6\alpha^{3}x^{2}}\] Διαιρούμε και τους δύο όρους με το μονώνυμο \(2\alpha x^{2}\) (που είναι ο κοινός τους παράγοντας) και προκύπτει:(Στην πραγματικότητα εφαρμόζουμε τις ιδιότητες των δυνάμεων για κάθε μεταβλητή και απλοποιούμε τους συντελεστές \(\dfrac{α}{α^3}=\dfrac{1}{α^2}\), \(\dfrac{x^2}{x^2}=1\)) \[\frac{2y}{3\alpha^{2}}\] όπου υποθέτουμε ότι οι μεταβλητές δεν μηδενίζουν τον αρχικό παρονομαστή.

Παράδειγμα 2 (με πολυώνυμα): Έστω η παράσταση: \[\frac{x^{2}+2xy+y^{2}}{x^{2}+xy}\]

* Παραγοντοποιούμε τον αριθμητή (ως ανάπτυγμα τετραγώνου): \(x^{2}+2xy+y^{2} = (x+y)^{2}\).

* Παραγοντοποιούμε τον παρονομαστή (βγάζοντας κοινό παράγοντα): \(x^{2}+xy = x(x+y)\).

* Το κλάσμα γίνεται: \(\dfrac{(x+y)^{2}}{x(x+y)}\)

* Διαγράφουμε τον κοινό παράγοντα \((x+y)\) και έχουμε το τελικό αποτέλεσμα \[\require{cancel}\dfrac{(x+y)^{\cancel{2}}}{x \cancel{(x+y)}}=\] : \[\frac{x+y}{x}\].

Παράδειγμα 3 (με τριώνυμο): Έστω η παράσταση: \[\dfrac{x^{2}-4}{x^{2}+5x+6}\]

  • Παραγοντοποιούμε τον αριθμητή (διαφορά τετραγώνων): \(x^{2}-4 = (x+2)(x-2)\).

* Παραγοντοποιούμε τον παρονομαστή (ανάλυση τριωνύμου): \(x^{2}+5x+6 = (x+2)(x+3)\).

* Η παράσταση γίνεται: \(\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x+2)(x+3)}\)

  • Διαγράφουμε τον κοινό παράγοντα \((x+2)\) \[\dfrac{\cancel{(x+2)}(x-2)}{\cancel{(x+2)}(x+3)}\] και προκύπτει: \[\frac{x-2}{x+3}\] για \(x \neq -2\) και \(x \neq -3\).

Σημείωση: Είναι σημαντικό να γίνεται απλοποίηση των ρητών κλασμάτων πριν από την εκτέλεση οποιασδήποτε πράξης (πρόσθεση, πολλαπλασιασμός κ.λπ.), καθώς και στο τελικό αποτέλεσμα των πράξεων αυτών.

1.3 Ασκήσεις

Α. Να βρείτε για ποιες τιμές των μεταβλητών ορίζουνται οι παρακάτω ρητές αλγεβρικές παραστάσεις.

  1. \(\dfrac{5}{2x-6}\).
  2. \(\dfrac{7x+1}{2x^{2}-3}\)
  3. \(\dfrac{2x^{2}+3}{x^{2}-4x+4}\).
  4. \(\dfrac{3x-1}{x^{2}-7x+10}\).
  5. \(\dfrac{-3}{x^{3}-4x}\).
  1. Να κάνετε απλοποίηση των παρακάτω ρητών αλγεβρικών παραστάσεων.

  1. Μορφή: Μονώνυμο / Μονώνυμο
    Στις περιπτώσεις αυτές, η απλοποίηση γίνεται με τη διαίρεση των συντελεστών και την εφαρμογή των ιδιοτήτων των δυνάμεων στους εγγράμματους όρους.

    1. \(\dfrac{6x^{2}}{9x}\)

    2. \(\dfrac{6\alpha^{2}\beta}{2\alpha^{3}\beta\gamma}\)

    3. \(\dfrac{-12\alpha^{4}x^{2}y}{-15\alpha^{4}y^{2}}\)

    4. \(\dfrac{27\alpha^{3}\beta^{2}\omega\psi}{18\alpha^{3}\beta~\omega^{2}\psi^{3}}\)

    5. \(\dfrac{4\alpha x^{2}y}{6\alpha^{3}x^{2}}\)

  2. Μορφή: Πολυώνυμο / Μονώνυμο
    Για την απλοποίηση, διαιρούμε κάθε όρο του πολυωνύμου στον αριθμητή με το μονώνυμο του παρονομαστή.

    1. \(\dfrac{12x^{5}-6x^{4}-3x^{3}}{-3x^{3}}\)
    2. \(\dfrac{10x^{2}y^{2}+15x^{5}y^{2}+20x^{3}y^{4}}{-5x^{2}y^{2}}\)
    3. \(\dfrac{2x^{3}y^{2}-6x^{2}y^{3}+3x^{2}y^{2}}{3x^{2}y^{2}}\)
    4. \(\dfrac{\alpha^{2}\beta^{3}x-3\alpha^{3}\beta^{2}x+\alpha^{2}\beta x}{-\alpha^{2}\beta x}\)
    5. \(\dfrac{20x^{4}-16x^{3}-7x^{2}}{-2x^{2}}\)

  3. Μορφή: Πολυώνυμο / Πολυώνυμο (Απλές μορφές)
    Εδώ απαιτείται η εξαγωγή κοινού παράγοντα τόσο στον αριθμητή όσο και στον παρονομαστή πριν τη διαγραφή τους.

    1. \(\dfrac{3\alpha-3\beta}{4\alpha-4\beta}\)
    2. \(\dfrac{4x^{2}-xy}{12xy-3y^{2}}\)
    3. \(\dfrac{x^{2}+x}{x^{3}-x}\)
    4. \(\dfrac{x^{2}+xy}{x^{2}+2xy+y^{2}}\)
    5. \(\dfrac{3x^{2}+3x}{2x^{3}-2x}\)

  4. Μορφή: Πολυώνυμα / Πολυώνυμα (Σύνθετες μορφές)
    Αυτές οι ασκήσεις απαιτούν συνδυασμό μεθόδων παραγοντοποίησης, όπως χρήση ταυτοτήτων (διαφορά τετραγώνων, ανάπτυγμα τετραγώνου), ομαδοποίηση όρων ή ανάλυση τριωνύμου.

    1. \(\dfrac{x^{2}-9}{x^{2}-4x+3}\)
    2. \(\dfrac{(3x-2y)^{2}}{4y^{2}-9x^{2}}\)
    3. \(\dfrac{x^{3}+2x^{2}-2-x}{x^{2}+3x+2}\)
    4. \(\dfrac{x^{2}-6x+9}{x^{2}-4x+3}\)
    5. \(\dfrac{(\alpha\beta-1)^{2}-(\alpha+1)^{2}}{\alpha\beta+\alpha+\beta+1}\)

Σημείωση: Κατά την επίλυση των παραπάνω ασκήσεων, θεωρούμε πάντα ότι οι μεταβλητές παίρνουν τιμές τέτοιες ώστε οι παρονομαστές να είναι διάφοροι του μηδενός.

\[\bbox[yellow, 5px]{\color{blue}\Large\text{---}}\]

ΣυμβουλήΕνέργεια
Συμβουλή

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ!